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[미분방정식] 3편. 완전 미분방정식 (전미분, 편적분)

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[미분 방정식] 완전 미분 방정식과 그 해법 : 네이버 블로그

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[미분방정식] 3. 완전 미분방정식 – Exact Differential Equation

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[미분방정식] 3. 전미분, 완전미분방정식

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완전 미분방정식의 정의와 판별법

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1계 미분방정식(완전미분방정식형,Exact Differential Equation)

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조금은 느리게 살자: 완전 미분(完全微分, Exact Differential)

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  식 (3)의 완전 미분 개념을 이용하여 방정식을 만들면 다음과 같은 완전 미분 방정식(exact differential equation)이 된다. …
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  식 (3)의 완전 미분 개념을 이용하여 방정식을 만들면 다음과 같은 완전 미분 방정식(exact differential equation)이 된다.
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2010년 7월 12일 월요일

[아름다운 총서] 푸엥카레 가라사대 자연이 아름답지 않으면 연구는 필요 없다 연구가 없으면 삶도 없다

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[미분 방정식] 완전 미분 방정식과 그 해법

안녕하세요, 설군입니다.

이전 시간에 ‘변수 분리형 미분 방정식’에 대해서 알아봤고요

이제 두 번째 미분 방정식의 형태인, ‘완전 미분 방정식’에 대해 알아봅시다.

전미분 이라는 게 있습니다.

저는 ‘음함수의 미분’이라고 이야기하는 게 편한데요, 전미분이 뭐냐하면

어떤 변수에 대해 미분을 해주고, 그 변수에 대해 미분을 해줬다고 표현해주기위해 d를 곱해주는것입니다

이를테면 x에 대해 미분했다면, 그 미분된 항에 dx를 곱해주는것입니다.

이런식으로 말이죠.

xy를 미분하려면 곱의미분이죠 x에대해 미분하고 y는 놔두고 + x는 놔두고 y에대해 미분하고

이렇게 해주면 되는데,

x에 대해 미분하면 y인데, x에 대해 미분했다는걸 표현하기위해서 dx를 곱해주면

ydx가 될것이고

y에 대해 미분하면 x인데, y에 대해 미분했다는걸 표현하기 위해서 dy를 곱해주면

xdy가 되는것입니다.

이게 전미분인데 어쨌든,

우리는 미분 방정식을 배우고 있으니까

이렇게, 어떤 함수를 전미분한 형태 = 0 의 꼴로 나와있는 것이 바로 ‘완전 미분 방정식’입니다.

이것이 완전 미분 방정식이라고 해 봅시다.

그렇다는 말은, 어떤 함수를 전미분하면 위와같은 형태로 나온다는거죠.

그 함수가 뭐냐하면

이거입니다.

정말 전미분하면 위처럼 되는지 살펴봅시다.

되네요!

그럼 과연 그 원래의 함수를 어떻게 찾느냐가 문제입니다.

이것만 주어졌을때, 과연 어떻게 원래의 함수를 찾을까요?

먼저 완전 미분 방정식인지 아닌지를 판별하는 방법을 알아봅시다.

기본적으로 이런 꼴인데요,

주의해아할 것은 M이라는 함수는 dx와 곱해져있고

N이라는 함수는 dy와 곱해져있고

둘이 덧셈으로 연결되어있다는 것입니다.

이걸 만족해야 완전 미분 방정식이라고 할 수 있습니다.

즉 문제가

이 꼴로 주어졌을 때, 위의 편미분이 서로 같은 경우 완전 미분 방정식이라는 뜻입니다.

그렇다면 이제 원래의 함수를 찾는 법을 알아봅시다.

이런 미분 방정식이 주어졌다고 해봅시다.

그러면 일단 완전 미분 방정식인지 판별해야합니다.

즉 두 값이 같으므로 위의 미분 방정식은 완전 미분 방정식입니다.

그리고 이제 적분을 통해서 원래의 함수를 구하는데

2xy라는것은, 원래의 함수를 x에 대해 미분한것이므로 2xy를 x에 관해 적분해봅니다.

그리고 (x^2-1)라는것은, 원래의 함수를 y에 대해 미분한 것이므로 이를 y에 대해 적분해봅니다.

그럼 각각 다음과 같이 나옵니다.

여기서 상수를 제외한 부분을 전부 결합하여 더해주면 그것이 원래의 함수 f가 됩니다.

이를 음함수적으로 쓴다면, 다음과같이 =상수 꼴로 쓰면 됩니다.

여기까지가 완전 미분 방정식의 해법인데,

이 다음에 완전 미분 방정식이 아닌 어떤 미분 방정식에, 어떤 함수를 곱해서 완전 미분 방정식의 형태로 만드는 법을 배웁니다.

이때 그 곱하는 함수를 ‘적분인자’라고 하는데, 적분인자에 대한 개념과, 적분인자를 구하는 방법은 좀 중요합니다.

따로 분리해서 글을 적도록 하겠습니다.

완전 미분 방정식

완전 미분 방정식(영어: exact differential equation)이란 상미분 방정식의 한 형태로 물리학이나 공학에서 많이 사용한다.

정의 [ 편집 ]

u ( x , y ) {\displaystyle u(x,y)} 가 연속인 편도함수(continuous partial derivative)를 가질 때 u의 미분(differential)은

d u = ∂ u ∂ x d x + ∂ u ∂ y d y {\displaystyle du={\frac {\partial u}{\partial x}}dx+{\frac {\partial u}{\partial y}}dy}

이다.

u ( x , y ) = c o n s t . {\displaystyle u\left(x,y\right)=const.} 일 때, d u = 0 {\displaystyle du=0} 이므로,

M ( x , y ) d x + N ( x , y ) d y = 0 {\displaystyle M\left(x,y\right)dx+N\left(x,y\right)dy=0}

와 같이 표현할 수 있다.

위의 식이 완전미분방정식(exact differential equation)이 된다.

참고 문헌 [ 편집 ]

자꾸 생각나는 체리쥬빌레 :: 완전미분방정식 (exact differential equation)

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완전미분방정식을 깔끔하게! 천천히! 알아보자.

시작하기 전에 읽어보아야 할 것

간단한 형태의 미분방정식인 ydx+xdy=0은 일단 분리가능하고 선형이다.

(그냥 방정식의 형태를 파악해준 것이다.)

이 방정식의 좌변을 잘 보면,

즉, ydx+xdy는 f(x,y)=xy의 미분형태이다! (전미분한 결과이다)

이 말을 조금 음미해보자.

“좌변인 ydx+xdy는 f(x,y)=xy를 미분한 형태이다.”

이것과 연관해서 오늘 포스팅에서 배울 것은 뭐냐면,

미분형태 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0으로 표현된 1계미분방정식을 학습할 것이다

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0는 어떠한 f(x,y)의 미분 결과일 수 있다.

만약 어떠한 f(x,y)의 미분형태가 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0이 맞다면,

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0를 적분함을 통해 f(x,y)를 구해낼 수 있다.

만약에 그러한 f(x,y)가 존재한다면 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0라는 방정식을 “완전방정식”이라고 부른다.

아래에서 ‘완전방정식’의 정의를 정리하고 가자.

완전방정식의 정의

그렇다면 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0가 어떠한 f(x,y)의 미분결과인지 아닌지를 판정하는 방법이 있을까?

즉, M(x,y) dx+ N(x,y) dy=0가 완전방정식임을 판정하는 방법이 있을까?

있다! 알고싶으면 꼭 포스팅을 천천히 읽어보길 바란다.. 어렵지 않다!

방금 바로 위에서,

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0가 어떠한 f(x,y)의 미분결과인지 아닌지를

즉, 완전방정식인지 아닌지를 판정하는 방법을 알아보자고 했다.

한번 더 예제를 가지고 설명하겠다. (이해를 돕기 위해)

1. 미분표현 (2x-5y)dx+(-5x+3y^2)dy는 일단 (x^2-5xy+y^3)를 미분한 결과이다.

2. 만약에 이것을 쉽게 알 수 있다면, 미분방정식 (2x-5y)dx+(-5x+3y^2)dy=0의 해(음함수해)는 “x^2-5xy+y^3=c”임을 단번에 알 수 있을것이다. (단, c는 상수)

3. 그렇다면 (2x-5y)dx+(-5x+3y^2)dy가 어떤 함수를 미분한 결과라는 것을 판정하는 방법은 무엇일까?

즉, (2x-5y)dx+(-5x+3y^2)dy=0이 완전방정식임을 알 수 있는 방법은 무엇일까?

결과부터 말하면 다음과 같다.

완전미분 판별법

이 판별법에 대한 증명은 다른 포스팅에서 다루겠다.

이 완전미분 판별법에 대하여 다시 위 미분방정식 (2x-5y)dx+(-5x+3y^2)dy=0을 적용해 설명한다면,

M(x,y) = 2x-5y

N(x,y) = -5x+3y^2

이므로, 미분방정식 (2x-5y)dx+(-5x+3y^2)dy=0는 완전미분방정식이다.

참고: M의 y에대한 편미분을 저렇게 작은 아래첨자로도 나타낸다.

N의 x에대한 편미분도 마찬가지.

다시 말해서, 미분방정식 (2x-5y)dx+(-5x+3y^2)dy=0은 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0형태이지만, 이런 형태의 모든 1계 미분방정식이 f(x,y)=c의 미분꼴에 해당하는 것은 아니므로(즉 완전방정식은 아니므로), 저 판정법을 사용하여 완전방정식인지 판정해야 한다는 얘기였다.

자.. 이렇게 어떠한 미분방정식이 완전미분방정식임을 알아냈다면

아, 그 미분방정식은 어떤 f(x,y)=c를 미분한 형태구나~를 판정한 것이기 때문에,

그 미분방정식의 적분을 통하여 미분방정식의 해인 f(x,y)=c를 알아낼 수 있다.

정리하면,

1. 미분방정식이 완전방정식임을 ‘판정법’을 통해 판정한다.

2. 완전방정식이 맞으면 미방을 적분한다.

3. 그럼 해를 얻는다.

2번에서 미방을 적분하자고 했는데, 음..

M(x,y) dx+ N(x,y) dy=0를 적분해서 f(x,y)를 얻으려면 어떻게 해야 할까?

1) 일단 y를 상수로 취급하여 M(x,y)를 x에 대해 적분하여 f를 구한다.

아래 식에서 g(y)는 임의의 상수다.

2) 위 식을 다시 ‘y에 대해 미분’ 한다. 즉, f를 y에 대해 편미분한다.

위에서 배웠듯이, f를 y에 대해 편미분한 결과는 N(x,y)다.

여기서 M(x,y)와 N(x,y)를 알고 있으므로, g'(y)를 바로 찾아낼 수 있다.

암기할 필요 없다! 풀이 중 자연스럽게 과정을 거치게 될 것임.

총정리 예제

위에서 배운 것들을 모두 적용하여 다음의 미분방정식을 풀어보자.

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